✎ Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Méthode
Pour démontrer qu'une suite `(v_n)`  est une suite géométrique, on peut : 

• montrer qu'il existe un réel `q`  tel que, pour tout entier naturel  `n` ,  `v_{n+1}=v_n\timesq`  ; 
  
• montrer qu'il existe  `v_0`  et  `q`  des réels tels que le terme général s'écrive sous la forme  `v_n=v_0\timesq^n`  ; 
  
• si  `v_n\ne0`  pour tout  `n\in\mathbb(N)` , montrer qu'il existe un réel `q`  tel que, pour tout entier naturel  `n` ,  `v_{n+1}/v_n=q` . 
  

Exemple 1
On considère les suites  `(u_n)`  et  `(v_n)`  définies pour tout entier naturel  `n` , par  `u_0=-1`  ,  `u_{n+1}=3u_n-4`  et  `v_n=u_n-2` .
La suite  `(u_n)`  n'est pas une suite géométrique. En effet,  `u_0=-1 ; u_1=3\u_0-4=3\times(-1)-4=-7 \text{ et } u_2=3u_1-4=3\times(-7)-4=-25.` Ainsi,  `u_1/u_0=(-7)/(-1)=7`  et `u_2/u_1=(-25)/(-7)=25/7.` Comme les rapports `u_1/u_0`  et `u_2/u_1`  ne sont pas égaux, la suite `(u_n)`  ne peut pas être une suite géométrique.
En revanche, la suite  `(v_n)`  est une suite géométrique de raison  `3` .
Pour tout entier naturel  `n` , on a :  `v_{n+1}=\color{blue}{u_{n+1}}-2=\color{blue}{3u_n-4}-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n` .
De plus,  `v_0=u_0-2=-1-2=-3` .
On a alors, pour tout entier naturel  `n` ,  `v_n=v_0q^n=-3\times3^n =-3^(n+1)` .
On en déduit que, pour tout entier naturel  `n` ,  `u_n=-3^(n+1)+2` . 

Exemple 2
Soit  `u`  une suite définie pour tout `n` entier naturel par :  `u_n=2^n/3^(2n)` .
En réécrivant  `u_n`  sous la forme :  `u_n=\frac{2^n}{(3^2 )^n}= 2^n/9^n= (2/9)^n` , on reconnaît le terme général d'une suite géométrique de premier terme  `u_0=1`  et de raison  `q=2/9` .